Tuesday, September 23, 2014

Ibu Guru, Kenapa Ini Salah?

Tuesday, September 23, 2014


Bismillahirrahmanirrahim..

Matematika, siapa yang tidak kenal dengan ilmu pasti ini? Sedari dini, sangat ditekankan bahwa setiap orang paling tidak bisa memahami dasar-dasar Matematika, pengenalan angka dan operasi aritmatika (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian), misalnya, karena memang dua hal tersebut berperan penting dalam kehidupan kita sehari-hari.

Pengertian dan Definisi Matematika
Kata matematika berasal dari perkataan Latin mathematika yang mulanya diambil dari perkataan Yunani mathematike yang berarti mempelajari. Perkataan itu mempunyai asal katanya mathema yang berarti pengetahuan atau ilmu (knowledge, science). Kata mathematike berhubungan pula dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu mathein atau mathenein yang artinya belajar (berpikir). Jadi, berdasarkan asal katanya, maka perkataan matematika berarti ilmu pengetahuan yang didapat dengan berpikir (bernalar). Matematika lebih menekankan kegiatan dalam dunia rasio (penalaran), bukan menekankan dari hasil eksperimen atau hasil observasi matematika terbentuk karena pikiran-pikiran manusia, yang berhubungan dengan idea, proses, dan penalaran (Russeffendi ET, 1980 :148). 

Matematika terbentuk dari pengalaman manusia dalam dunianya secara empiris. Kemudian pengalaman itu diproses di dalam dunia rasio, diolah secara analisis dengan penalaran di dalam struktur kognitif sehingga sampai terbentuk konsep-konsep matematika supaya konsep-konsep matematika yang terbentuk itu mudah dipahami oleh orang lain dan dapat dimanipulasi secara tepat, maka digunakan bahasa matematika atau notasi matematika yang bernilai global (universal). Konsep matematika didapat karena proses berpikir, karena itu logika adalah dasar terbentuknya matematika.

Pada awalnya cabang matematika yang ditemukan adalah Aritmatika atau Berhitung, Aljabar, Geometri setelah itu ditemukan Kalkulus, Statistika, Topologi, Aljabar Abstrak, Aljabar Linear, Himpunan, Geometri Linier, Analisis Vektor, dll.

Pemahaman Konsep
Perlu dipahami bahwa konsep matematika lebih menekankan pada proses berpikir (penalaran) dalam mencari kebenaran, atau dengan kata lain matematika adalah ilmu deduktif. Hal ini lah yang membuat matematika berbeda dari ilmu pengetahuan yang lainnya yang menggunakan eksperimen dan induktif sebagai metode dalam mencari kebenaran.

Sebagai contoh, pembuktian penjumlahan dua bilangan bulat ganjil akan menghasilkan bilangan genap. Bilangan bulat merupakan himpunan bilangan yang berisi bilangan tanpa pecahan/fraksi ataupun nilai dibelakang koma, contohnya: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, dan seterusnya.

Metode Induktif
Kita bisa mengambil contoh dua bilangan bulat, misalkan 1 dan 3. Kita tahu bahwa 1+3 akan menghasilkan 4, dimana 4 merupakan bilangan genap. Namun dalam matematika, hasil tersebut belum bisa dianggap sebagai suatu pembuktian. Loh kenapa? Kan jelas itu contohnya? Pemberian contoh sebanyak apa pun tidak akan bisa memenuhi suatu pembuktian, karena pembuktian harus berlaku umum (general), sedangkan kita tahu bahwa bilangan bulat itu jumlahnya tak hingga. Bisa menuliskan sejumlah tak hingga contoh dari operasi tersebut?

Metode Deduktif
Kita bisa memisalkan dua buah bilangan bulat dengan simbol a dan b. Maka, 2a atau 2 x a adalah bilangan genap, begitupun dengan 2b atau 2 x b. Untuk bilangan ganjil akan berlaku 2a+1 atau (2 x a) + 1, begitupun dengan 2b+1 atau (2 x b) + 1.
Keterangan:
a dan b bilangan bulat
2a merupakan bilangan genap, karena setiap bilangan bulat yang dioperasikan perkalian dengan angka 2 akan menghasilkan bilangan genap
2a+1 merupakan bilangan ganjil, karena setiap bilangan bulat yang dioperasikan perkalian dengan angka 2 kemudian ditambah dengan 1 akan menghasilkan bilangan ganjil. 
Contoh (bukan bagian dari pembuktian):
2 x 2 = 4 (bilangan genap)
2 x 3 = 6 (bilangan genap)
2 x 2 + 1 = 5 (bilangan ganjil)
2 x 3 + 1 = 7 (bilangan ganjil)
Mari berlanjut pada pembuktian,
Ingat bahwa kita akan membuktikan bahwa penjumlahan dua bilangan bulat ganjil akan menghasilkan bilangan genap. Kita sudah tahu bahwa bilangan ganjil dapat disimbolkan dengan 2a+1 dan bilangan genap adalah 2a. Jika kita mengambil dua bilangan bulat, maka kita dapat menuliskannya sebagai berikut:

(2a+1) + (2b+1) =
(bilangan ganjil) + (bilangan ganjil) =

Lalu kita uraikan,
2a + 1 + 2b + 1 = 2a + 2b + 2

Bentuk tersebut bisa disederhanakan dengan menggunakan sifat asosiatif, maka
2a + 2b + 2 = 2 x (a + b + 1)
atau
2a + 2b + 2 = 2 (a + b + 1)

Karena a dan b adalah bilangan bulat, maka (a + b + 1) juga merupakan bilangan bulat. Kita juga ingat bahwa bentuk dari bilangan genap adalah 2a, namun kita juga bisa memisalkan dengan variabel lain, misalkan 2n, hal ini tidak mempengaruhi konsep bilangan genap, karena yang kita ganti hanya variabel a menjadi n. Maka dapat kita tuliskan

2(a + b + 1) = 2n, dengan kita misalkan n = (a + b + 1)

Dengan demikian, terbukti bahwa penjumlahan dua bilangan bulat ganjil akan menghasilkan bilangan genap. Anda bisa memasukkan bilangan bulat berapa saja ke dalam variabel a dan b, dan itu akan berlaku untuk setiap bilangan bulat.

Proses berpikir:
Berpikir Matematis
Matematika yang pernah kita pelajari di bangku sekolah dasar pada umumnya adalah operasi aritmatika atau berhitung, termasuk di dalamnya adalah operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Mulai dari arimatika bilangan satuan, puluhan, ratusan, hingga jutaan pernah diajarkan oleh guru kita.

Mungkin sudah tidak asing bagi kita, akhir-akhir ini media sosial ramai membicarakan guru yang menyalahkan jawaban dari pekerjaan rumah yang diberikan kepada siswanya, padahal hasilnya tidak salah. Hal ini mencuat karena sang kakak yang membantu pekerjaan rumah tersebut meminta guru untuk mempertimbangkan kembali nilai yang diberikan, argumen yang disampaikan menyangkut sifat perkalian yang jika dibolak-balik (komutatif) akan menghasilkan nilai/angka yang sama.


Berikut salah satu contoh soalnya,
4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = ...

Siswa diminta merubah bentuk penjumlahan tersebut menjadi bentuk perkalian, dan siswa menjawabnya, 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 x 6 = 24. Tetapi sang guru tidak membenarkan jawaban tersebut, padahal 4 x 6 dan 6 x 4 menghasilkan nilai yang sama, yaitu 24. Kenapa?

Kita kembali pada konsep matematika yang menekankan pada proses berpikir. Jika kita melihat kembali 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4, jumlah angka 4 ada 6 buah, maka secara matematis akan ditulis 6 x 4, karena yang muncul 6 kali adalah angka 4, bukan angka 6 yang muncul 4 kali. Got it?

Dalam kasus meminum obat misalnya, sering kita lihat tertulis aturan minum 3 x 1, maka kita pun akan paham, kita akan meminum obat tersebut 3 kali sehari dan sebanyak 1 dosis tiap kali meminumnya. Akan sangat berbeda ketika di label tertulis 1 x 3, berarti kita harus meminum obat tersebut 1 kali sehari sebanyak 3 dosis tiap kali meminumnya. Walaupun sama-sama memnium 3 dosis, obat perlu waktu untuk memproses setiap dosisnya, jika diberikan dalam satu waktu tentunya bisa berakibat fatal.

Contoh lainnya, jika ada apel, apel, dan apel, bagaimana menuliskannya dalam bentuk perkalian? Tentunya kita akan menuliskannya 3 apel, bukan sebaliknya, apel 3.

Walaupun berlaku sifat bolak-balik (komutatif) dalam suatu perkalian, yakni ketika dua bilangan dikalikan secara bolak-balik (misal 4 x 6 = 6 x 4) maka akan menghasilkan nilai yang sama, hal tersebut akan sangat berbeda ketika kita melihat dari proses berpikirnya.

4 x 6 = 6 + 6 + 6 + 6
6 x 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 +4

Sang guru tentunya sengaja memberikan soal tersebut untuk membantu siswa membentuk pola berpikirnya. Sekali lagi, pola berpikir, itulah matematika. Karena jika berorientasi pada hasil, tentunya jawaban tersebut tidak salah. 

Namun demikian, hal tersebut tidak murni bergantung pada guru yang berperan sebagai pengajar, lingkungan (dalam kasus ini keluarga) juga berperan dalam membentuk pola berpikir. Sang kakak (mungkin) kurang memahami konsep aritmatika perkalian, hal ini menjadi masalah, karena sudut pandang yang digunakan berorientasi pada hasil, sedangkan maksud tugas tersebut adalah pengembangan proses berpikir. Hal inilah yang harusnya menjadi evaluasi bagi kita semua, bahwa proses berpikir (dalam matematika) jauh lebih penting. Selain pemahaman dari lingkungan, tentunya sang guru juga harus berupaya untuk menyampaikan pelajaran dengan metode yang mudah dimengerti oleh siswanya.

Akhirnya, banyak pihak yang menyudutkan sang guru karena menyalahkan jawaban siswanya, bahkan Kemendikbud minta Disdik tegur guru salahkan PR Matematika siswa, hal yang sangat disayangkan.


Regards,


Akbar Surya
Mahasiswa Matematika

Daftar Pustaka
Hakikat Matematika dan Pembelajarannya di SD. (n.d.). Retrieved 09 23, 2014, from Universitas Pendidikan Indonesia: http://file.upi.edu/Direktori/DUAL-MODES/MODEL_PEMBELAJARAN_MATEMATIKA/HAKIKAT_MATEMATIKA.pdf